Eigenvectors and Eigenvalues

 Wikipedia nos da una buena definición:

"Los eigenvectors (vectores característicos o latentes) de una matriz cuadrada, son los vectores diferentes de cero, que después de ser multiplicados por la matriz, permanecen proporcionales al vector original (cambian en magnitud, pero no en dirección). A cada eigenvector le correspondiente un "eigenvalue" que es el factor por el que cambia el "eigenvector" cuando se multiplica por la matriz".

Wikipedia gives a good definition:

"The eigenvectors of a square matrix are the non-zero vectors that, after being multiplied by the matrix, remain proportional to the original vector (i.e., change only in magnitude, not in direction). For each eigenvector, the corresponding eigenvalue is the factor by which the eigenvector changes when multiplied by the matrix".

Un ejemplo:
For example:

En este caso el "eigenvector" es (3,2) y el "eigenvalue" es 4.

Podemos entrar en este link, para utilizar una útil calculadora que nos ayuda a encontrar los eigenvectors y los eigenvalues. En este caso:

In this case the "eigenvector" is (3,2) and the "eigenvalue" is 4.

Press this link, to use a useful calculator to calculate the other eigenvalue. In this case:

El otro "eigenvector" es (-1,1) con un "eigenvalue" de "-1".

The other "eigenvector" is (-1,1) with an  "eigenvalue" of "-1".

Otro link interesante donde podéis hacer estos cálculos es el del MIT.

Other interesting link for this calculations is this: MIT.

·         Hay que tener en cuenta que solo podemos obtener los "eigenvectors" de las matrices cuadradas, pero que no todas las matrices cuadradas tienen "eigenvectors".

·         Eigenvectores and eigenvalues are obtained only from square matrix. Not all the square matrix has eigenvectors.

·         En una matriz "nxn" que tenga eigenvectors habrá un numero "n" de ellos, por tanto en una matriz 2x2 tendremos 2 eigenvectors con sus correspondientes eigenvalues.

·         In a matrix "nxn" with eigenvectors, we will find  "n" eigenvectors and eigenvalues, so for a 2x2 matrix we will have 2 eigenvectors with their eigenvalues.

·         Los "eigenvectors" de una matriz son perpendiculares entre sí (ortogonales).

·         All the "eigenvectors" of a matrix are perpendicular (at right angles to each other), we can also say that they are orthogonal.

Podemos multiplicar los “eigenvectors” por escalares, obteniendo múltiplos, pero sus correspondientes “eigenvalues”  son el mismo para todos e igual al original del que son múltiplos, (en este caso 4 y -1).

En la gráfica vemos los múltiplos del original (3,2) es decir (6,4),(9,6),..., etc. Cambian de amplitud,no de dirección y todos tienen en este caso 4 de "eigenvalue".

We can scale the original eigenvectors multiplying them for some amount (in the figure x2, x3,…), all them fall in the same direction than the original one, but their magnitude is different. Nevertheless the eigenvalue  for all of them is the same than for the original eigenvector (4 and -1 in this case).

Lo normal es estandarizar los “eigenvectors” para que tengan una longitud de 1, para ello calculamos la magnitud del vector, que en el caso del (3,2) es la raíz cuadrada de 3²+2² . Es decir  √ 13. Si ahora  le damos al vector el valor (3/√13 , 2//√13), y calculamos su longitud veremos que es 1. Normalmente los software que calculan los “eigenvectors”, suelen normalizarlos a longitud 1.

Normally we standardize the length of the eigenvector to “1”. We calculate first the length of the vector (in the case of the vector (3,2) it is the square root of  3²+2² which is √13.  Now we give to the vector the value (3/√13,2//√13). With this new values the length of the eigenvector is “1”. This is how the software’s which calculate the eigenvectors proceed.

Bibliografía usada:

"A tutorial of Principal Components Analysis" - Lindsay I Smith