Matrices


Llamaremos "escalar" a un número que puede ser entero, decimal, exponencial,.....
Ejemplo: 12   3,63   2 x 106
Un vector es una serie de "escalares" expresados en una fila o en una columna.
Lo representaremos por una letra minúscula en negrita: x = [ 2  5  3]   (en este caso lo hemos realizado en una fila).
Para un caso de N escalares, lo generalizamos así: x = [x1  x2  x3  ….xN].
En el caso de la espectroscopía NIR, x puede representar a un espectro, y  x1  x2  x3  ….xN , las absorbancias a cada una de las longitudes de onda.
El vector transpuesto de x se representa por  xt  y transforma una fila en una columna. Suma y resta de vectores:
Multiplicación de un vector por un escalar:
0,5.[3 2 4] = [1,5 1  2] Si se multiplica por un número negativo, la dirección del vector cambia. Multiplicación de dos vectores:

Producto escalar (dot product)
                  A . B = C
siendo      C = │A│.│B│.cosƟ
Ɵ = ángulo que forman entre sí los dos vectores.
El producto de dos vectores podrá ser  mayor, menor o igual a cero dependiendo del ángulo que formen. En el caso de que formen 90º será igual a cero.
Producto vectorial (cross product)
                 A x B = C
siendo     C =│A│.│B│.senƟ
Ɵ = ángulo que forman entre sí los dos vectores.
La dirección es perpendicular (ortogonal) a los dos vectores A y B y su dirección viene determinada por la dirección del avance de un tornillo de rosca derecha que se ha rotado desde A hacia B. Otra forma es colocar el dedo índice de la mano derecha en la dirección de A, el medio en la dirección de B, el pulgar en ese caso nos dará la dirección de C. Aplicando esta regla, comprobamos que:
A x B = -B x A
Otra de las maneras de multiplicar vectores, la podéis ver bien explicada en el video de Walter Lewin y se llama “Cross Multiplication” (Multiplicación Cruzada).
En un espacio tridimensional, como el formado por la gráfica 3D de variables X1,X2 y X3, dos vectores (x y) forman un plano. Dentro de ese plano caen otos muchos vectores que pueden ser representados por combinaciones lineales de estos dos,  del tipo: ax+by, siendo a y b escalares. Esta idea se puede extrapolar a mayor número de dimensiones, formandose hiperplanos. Muchos otros vectores, caeran dentro de los planos formados por dos de ellos y podrán ser representados por  combinaciones lineales de ellos.
Una matriz, es una serie de números organizados en filas y columnas y la denominaremos por una letra en mayúsculas X. En nuestro caso se tratará de una serie de vectores (los espectros) representados en filas. Se definirá como del tipo NxK el nº de vectores (o de muestras) y K los valores del vector para cada una de las variables.
En el caso de que se disponga de tres componentes puros, y se dispongan de muestras de mezclas de estos tres en diferentes combinaciones lineales y aditivas (Ley de Beer) esas muestras podran ser representadas por combinaciones lineales de los tres componentes puros. En ese caso el espacio multidimensional estaría representado no por N dimensiones, sino por tres.
VIDEO: Longitud de un vector
MATRICES Vídeo recomendable: Se trata de la lección 1 de un curso de Algebra Lineal del MIT, y es de gran interés para lo tratado en este Blog, pues ya en el se habla de las "combinaciones lineales" que os sonará por ya haber hablado de ellas en el cálculo de los componentes principales, solo que en el caso de estos, como ya hemos comentado se cumple la condición de ortogonalidad. No obstante ya se puede captar la idea de como los "scores", se multiplican por los loadings y al sumar todos los vectores se obtiene el espectro desconocido. Interesante Curso,...., lo iremos siguiendo en NIR-Quimiometría. Al menos a mí me va a servir de repaso del Álgebra que estudie hace ya muchos años en la Universidad.
Matriz Simétrica: Para ser simétrica, una matriz debe de ser cuadrada y con sus valores iguales respecto a su diagonal. Presenta la peculiaridad de que es igual a su traspuesta. Una manera simple de recordarlo es con una servilleta de papel. Al doblarla sobre su diagonal, los valores a ambos lados coincidirían superponiéndose.
Multiplicación de Matrices :
Para multiplicar matrices en número de columnas de la primera matriz debe de ser igual al número de filas de la matriz por la que se va a multiplicar. Demo MIT: Multiplicación de matrices por columnas.
Video: Multiplicación de matrices en Excel

Que es: Matriz Singular Traza de una Matriz / Trace of a Matrix: Se trata (en una matriz cuadrada) de la suma de los elementos de la diagonal de la matriz. It is defined (in a square matrix) as the sum of the elements of the matrix diagonal. 3   4    1 1   2   -2 3   5   -4 La traza de la matriz es: The trace of the matrix is:
3 +2 -4 = 1  
 
Resolución de sistemas de  "n" ecuaciones con "n" incógnitas con fórmulas matriciales en Excel.
 
 


 


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