Ángulo entre vectores.

Dos vectores A (a₁, a₂, a₃,…,a_n) y B (b₁,b₂,b₃,…,b_n), que parten de un mismo origen forman entre sí un ángulo que denominaremos Ɵ. Conocer este ángulo tiene importancia para comprobar lo similares que son ambos vectores.

Las  longitudes de los vectores se calculan fácilmente por el teorema de Pitágoras y se representan por:

│A│ longitud del vector A.

│B│ longitud del vector B.

Para calcular el ángulo que forman entre sí, partimos de:

A.B = │A│.│B│.cos Ɵ

De aquí podemos despejar cos Ɵ, y por tanto conocer el valor de Ɵ.

Podemos estandarizar los dos vectores para que tengan una longitud igual a 1, de modo que:

A.B = cos Ɵ

En este caso los vectores coinciden con el radio de una circunferencia de radio 1, separándose entre sí en mayor o menor medida según sea el ángulo Ɵ.

Esta es por tanto otra forma de comprobar la similitud entre dos espectros. Podemos fijar  un  umbral para el valor de Ɵ, en torno a un determinado espectro X, para determinar si otro espectro/s, son significativamente diferentes a este.

Esta es por tanto otra de las maneras de realizar un tipo de análisis cualitativo, al igual que lo puede ser la distancia euclidiana, la distancia de Mahalanobis, el coeficiente de correlación, etc.

Podéis visitar unos interesantes videos de como se realiza el cálculo del ángulo entre dos vectores (de juanmemol) en YouTube:
En dos dimensiones.
En tres dimensiones.

Bibliografía: Back to the Basics: qualitative analysis introduction. Tony Davies Column (vol. 20 Nº2 - 2008).